Álgebra Booleana


Também conhecida como Álgebra de Boole, ela se encontra na matemática e na ciência da computação. São estruturas algébricas que capturam o resultado das operações lógicas E, OU e NÃO. Ela é também foi fundamento para a Lógica computacional baseada nos números binários.
Recebeu esse nome graças a um matemático inglês chamado George Boole,que la pelo século XIX foi o primeiro a defini-las como parte de um sistema de lógica.Mais especificamente ela foi uma tentativa de usar métodos algébricos para resolver expressões no calculo proposicional.Na atualidade a álgebra booleana tem mais aplicações na eletrônica, que foram aplicadas pela primera vez em interruptores no século XX por Claude Shannon.
Seus operadores podem ser representados de varias formas, mas são principalmente representados por E, OU,ou NÃO.Já na descrição de circuitos também são usados estas formas: NAND para NOT AND, NOR para NOT OR e XOR para casos especiais do OR.
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Lógica e Computadores


A Lógica em si, ela é extremamente usada em Ciência da Computação e também na Inteligência Artificial. Isso vem la das décadas de 50 e 60 quando o s pesquisadores pensavam nessa possibilidade de uma maquina trabalhar com uma inteligência própria usando a Lógica com notação Matemática, mas isso estava longe do que eles imaginavam.A programação lógica é uma dessas tentativas usado com o “Prolog”, que seria uma linguagem de programação.

Já na ciência da computação podemos acompanhar a lógica através da “Álgebra Booleana”.A seguir veremos como funciona essa Álgebra Booleana.
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EQUIVALENCIAS BASICAS



RELATIVAS AO “e” “^” LOGICO.

1) p^ p <=> p
2) p ^ q<=> q ^ p
3) p ^ (q^r) <=> (p^q) ^ r
4) p ^ (qvr) <=> (p^q) v (p^r)
5) p ^ t <=> p
6) p ^ c <=> c
7) p ^ ~p <=> c

OBS: “t” indica Tautologia
“c” indica Contradição
RELATIVAS AO “ou” “v” LOGICO.

8) p v p <=> p
9) p v q <=> q v p
10) p v (q v r) <=> (p v q) v r
11) p v (q ^ r) <=>(p v q) ^ (p v r)
12) p v t <=> t
13) p v c <=> p
14) p v ~p <=> t

OBS: “t” indica Tautologia
“c” indica Contradição

RELATIVAS A “CONDICIONAL” “->” E A “BI-CONDICIONAL” “<->” LOGICA

15) p ->q <=> ~p v q
16) p <-> q <=> (p ->q) ^ (q ->p)
17) ~p (~p) <=> p
18) ~p (p ^ q) <=> ~p v ~q
19) ~p (p v q) <=> ~p ^ ~q

Quando “e” “^”, as duas proposições precisam ser verdadeiras, para ser verdade, o resto é falso.

Quando “ou” “v”, as duas proposições precisam ser falsas, para ser falso, o resto é verdadeiro.

Quando “condicional” “->”, a segunda proposição precisa ser falsa, para ser falso, o resto e verdadeiro.

Quando “bi-condicional” “<->” uma das duas proposições precisa ser falso, para ser falso, o resto e verdadeiro.
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Proposições e conectivos


a)Proposição todo conjunto de palavra a simbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.tambem chamada de sentença.
Ex: Avião voa V
4+3 = 8 F
Sempre podemos decidir se uma proposição é falsa F ou verdadeira V.

A logica matematica adota os dois seguintes principais (axiomas) como regras fundamentais do pensamento.
1)Principio da não-contradição:
uma proposição não pode ser ao mesmo tempo V e F

2)Principio do Terceiro excluido toda proposição ou é V ou é F
Valores logicos das proposições:
O valor logico de uma proposição verdadeira é V e o valor logico de uma proposição não verdadeira é F assim, pelos principais 1 e 2 toda proposição tem um e so um valor logico.

Proposições simples
São aqueles que não contêm outra proposição como parte integrante de si mesmo. Representadas por letras minúsculas p,q,r,s.....
Ex: p:Carlos joga futebolq:Antonio é estudante
Proposições compostas
São formadas pela combinação de duas ou mais proposições representadas por letras maiusculas P,Q,R,S...
Ex:Carlos joga futebol E Antonio é estudante.
Carlos joga futebol OU Antonio é estudante.Conectivos
São as palavras que usamos para formar novas proposições.As proposições compostas são formadas por outras proposições ligadas pelos conectivos.

São eles

Ex: P: p^q = p e qQ: pvq = p ou qR: ~p = não pS: p->q = se p então qT: p<->q
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