LÓGICA MATEMATICA: junho 2010

O que é lógica?

É uma ciência de índole Filosófica, ligada a matemática, trata dos argumentos. Das conclusões a que chegamos através de evidências que a sustentam.

Já que o pensamento é a manifestação do conhecimento, e que o conhecimento busca a verdade

São necessárias regras para que essa meta seja atingida. Dessa forma lógico é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, portanto um instrumento do pensar.

Ela só tem sentido enquanto garante que nosso pensamento proceda corretamente a fim de chegar a conhecimentos verdadeiros.

Tecnicamente a lógica é também a designação de sistemas que definem como se "deveria" pensar para não errar, usando a razão indutivamente e dedutivamente.

Dr. House é um medico que junto com sua equipe, busca descobrir diagnósticos raros.

Neste episodio Dr. House contrata Marcus, o irmão do Dr. Foreman, eles não se falavam a muito tempo, e no final do episodio eles se reconciliam.

Também chega até House um paciente com sintomas muito raros e que passou mal durante um jogo de futebol americano. Junto com sua equipe e trabalhando com probabilidades e raciocínio lógico, eles chegam a um diagnóstico.

Durante esta trama também surge um arapaz (soldado) que não queria voltar a guerra por causa de sua família, então pede ao Dr. House que o atestasse como incapaz, ele no entanto se recusa a fazer para ver até que ponto o soldado levaria isso. No dia seguinte o soldado aparece sem um dedo, e mesmo assim ele ainda se nega a atestar, então no outro dia o rapaz volta e quando o Dr. House o vê ele esta sem um dos pés.Ou seja, o rapaz foi além do que House esperava.

Toda a série se desenvolve através de raciocínio lógico, ação e resultado.

Tabela-Verdade

Tabela-verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa é um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se uma fórmula é válida ou se um sequente é correto.

As tabelas-verdade derivam do trabalho de Gottlob Frege,Charles Sanders Peirce e outros da década de 1880,e tomaram a forma atual em 1922 através dos trabalhos de Emil Post e Ludwig Wittgenstein.A publicação do Tractatus Logico-Philosophicus,de Wittgenstein, utilizava as mesmas para classificar funções veritativas em uma série. A vasta influência de seu trabalho levou, então, à difusão do uso de tabelas-verdade.

CONSTRUINDO UMA TABELA VERDADE

Uma tabela de verdade consiste em:
1º) Uma linha em que estão contidos todas as subfórmulas de uma fórmula. Por exemplo, a fórmula ¬((A∧B)→C) tem o seguinte conjuntos de subfórmulas:
{ ¬((A∧B)→C) , (A∧B)→C , A∧B , A , B , C}

2º) l linhas em que estão todos possíveis valores que os termos podem receber e os valores cujas as fórmulas moleculares tem dados os valores destes termos.
O número destas linhas é l = n^t , sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do Cálculo Proposicional Clássico)e t o número de termos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos termos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos termos são falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos termos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois termos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos termos são falsos (F F F).

TABELA DAS PRINCIPAIS OPERAÇÕES DO CÁLCULO PROPOSICIONAL

NEGAÇÃO

A negação da proposição a é a proposição ~a, de maneira que se a é verdade então ~a é falso, e vice-versa.

CONJUNÇÃO (E)

A conjunção é verdadeira se e somente se os conjuntos são verdadeiros.

DISJUNÇÃO(OU)

A conjunção é falso se, e somente se ambos os operandos forem falsos

CONDICIONAL(SE...ENTÃO)[IMPLICAÇÃO]

A conjunção é falsa se, e somente se, o primeiro operando é verdadeiro e o segundo operando é falso

BICONDICIONAL(SE E SOMENTE SE)[EQUIVALÊNCIA]

A conjunção é verdadeira se, e somente se, ambos operandos forem falsos ou ambos verdadeiros

DISJUNTIVA EXCLUSIVA(OU...OU XOR)

A conjunção é verdadeira se, e somente se, apenas um dos operandos for verdadeiro

ADAGA DE QUINE(NOR)

A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos são falsos

COMO USAR AS TABELAS PARA VERIFICAR A VALIDADE DE ARGUMENTOS

Verifique se a conclusão nunca é falsa quando as premissas são verdadeiros. Em caso positivo, o argumento é válido. Em caso negativo, é inválido.

ALGUNS ARGUMENTOS VÁLIDOS

Modus Pollens

$\left \{A\to B\ , A\right \}\vDash B$

Modus tollens

$\left \{A\to B\ , \neg B\right \}\vDash \neg A$

Silogismo Hipotético

$\left \{A\to B , B\to C\right\}\vDash A\to C$

ALGUMAS FALÁCIAS

Afirmação do conseqüente

Se A, então B. (A→B)

Logo, A.

Comutação dos Condicionais

A implica B. (A→B)

Logo, B implica A. (B→A)

COMO USAR TABELAS PARA VERIFICAR A EQUIVALÊNCIA DE FÓRMULAS

(A∧B) ≡ ¬(B→¬A) ≡ ¬(¬A∨¬B) ≡ (¬A↓¬B)

(A→B) ≡ ¬(¬A∧B) ≡ (¬A∨B) ≡ ¬(¬A↓B)

(A∨B) ≡ ¬(¬A∧¬B) ≡ (¬A→B) ≡ ¬(A↓B)

Argumentos e Argumentos Validos

A visão de que a Lógica é a ciência que estuda o raciocínio se deve à sua aplicação clássica na Grécia antiga. Na argumentação os elementos fundamentais são denominados de argumentos,ou como veremos neste tópico esquemas de argumentos.O papel da lógica é exatamente desvendar o que torna um argumento válido ou inválido.

A classificação de argumentos em válidos ou não é uma tarefa de extrema importancia para distinguirmos quais deles estão relacionados a verdades no mundo(ainda que relativas).Tais argumentos chamamos usualmente de argumentos lógicos.
Alguns exemplos de argumentos lógicos são apresentados a seguir.

ARGUMENTOS LÓGICOS

Esses argumentos têm duas premissas e uma conclusão.Quem quer que aceite as premissas como sendo verdadeiras terá de aceitar que suas conclusões também são verdadeiras.Neste caso nós dizemos em lógica que a conclução é uma consequência lógica das premissas.É difícil imaginar uma situação em que as premissas sendo verdadeiras não se tenha a conclusão como sendo também verdadeira.Entretanto, isso não quer dizer que o argumento lógico seja válido.Consideremos o seguinte exemplo.

Exemplo 2.4 Um argumento lógico que não é válido.

Neste exemplo, ambos, premissas e conclusão são fatos verdadeiros, mas isto não torna o argumento válido. Podemos falsificar o argumento se pegarmos um tipo de mamífero que não seja vertebrado por algum fator de evolução genética. Se formos transcrever esse argumento no seu diagrama de Euler-Venn para conjuntos,tomando o conjunto universo como sendo o dos animais, teremos um diagrama de acordo com o da Figura 2.1. Note que nada se pode afirmar, analisando as premissas do argumento, que vertebrados são um subconjunto do conjunto dos mamíferos e vice-versa. Apenas podemos visualizar que existe uma interseção entre ambos os conjuntos pois nas premissas fica claro que o conjunto dos cavalos é um subconjunto dos vertebrados e também dos mamíferos.

Figura 2.1: Diagrama de Venn para o argumento de Mamíferos e Vertebrados.

Mesmo assumindo como verdade universal que todo mamífero seja um vertebrado,as premissas se referem à relação entre cavalos e propriedades dos animais.Não há uma sentença no argumento ou um encadeamento de sentenças que associe oconjunto dos mamíferos com o dos vertebrados. Logo,não podemos inferir nenhumarelação entre as propriedades apenas com base na relação de pertinência entre umaclasse de animais e estas.

ESQUEMAS DE ARGUMENTOS

Isso significa que do ponto de vista da linguagem,não existe uma relação de derivabilidade entre as sentenças.E esta, por sua vez,está relacionada com a consequência lógica entre os fatos expressados pelas sentenças.
O que podemos concluir disto é que deve haver uma relação entre a linguagem que usamos para expressar um argumento e o que esses argumentos representam em relação ao mundo real. Esta relação é provida pela semântica da linguagem como mostra a Figura 2.2. Note que, a propriedade de um fato ser uma consequência lógica de outro fato no mundo real é espelhado na linguagem pela propriedade de uma sentença ser derivada de outra através de algum método de derivação ou cálculo.

Figura 2.2: Conexão entre sentenças de uma linguagem e fatos se dá pela semântica.

Um formalismo ou um cálculo que possa processar tal tarefa de forma automática deve oferecer mecanismos que nos possibilitem identificar as estruturas básicas desses argumentos. Tais estruturas são utlizadas para construirmos esquemas de argumentos e portanto podemos testar a validade dos mesmos como veremos a seguir.

ESQUEMAS DE ARGUMENTOS

Aristóteles foi um dos primeiros (se não o primeiro) a propor um método para representar padrões de raciocínio de forma que pudessemos testar a consistência dos mesmos. Avaliando argumentos como o do Exemplo 1 ele observou que estes são na realidade uma composição de frases ou declarações, ou ainda proposições.
A frase “Se a demanda aumentar, então a empresa se expande” tem duas partes 1) “demanda aumentar” e 2) “empresa se expande”. Ambas as proposições são conectadas pelas palavras “Se” e “então”. No caso do Exemplo 3, as frases “A RL está mal configurada” e “o provedor Internet está desligado” são conectados pela palavra “ou”. A essas sentenças menores denominamos de proposições atômicas.
Argumentos como estes podem ser representados de forma esquemática se substituirmos as frase por variáveis proposicionais. No Exemplo 1, chamemos de P a primeira parte da proposições e Q a segunda e a frase “as empresas empregam trabalhadores” de R. Então podemos escrever o esquema

Se P então Q.
Se Q então R.
__________
Se P então R.

O que são argumentos

Na lógica, um argumento é um conjunto de uma ou mais sentenças (proposições),conhecidas como premissas,acompanhada de uma conclusão.
Um argumento dedutivo afirma que a verdade de uma conclusão é uma consequência lógica das premissas que o antecedem.
Um argumento indutivo afirma que a verdade da conclusão é apenas apoiada pelas premissas.Toda premissa, assim como toda conclusão pode ser apenas verdadeira ou falsa e nao ambígua.
Em funçao disso, as frases que apresentam um argumento em consequência, são válidas ou são inválidas.
Argumentos podem ser válidos ou inválidos,se um argumento é válido, e a sua premissa é verdadeira, a conclusão deve ser verdadeira: um argumento válido não pode ter premissa verdadeira e uma conclusão falsa.
EXEMPLO
Alguns gregos são lógicos e alguns lógicos são chatos, por isso, alguns gregos são chatos. (Este argumento é inválido porque todos os chatos lógicos poderiam ser romanos!).

Videos Lógica

Raciocínio Lógico - Parte 01

Raciocínio Lógico - Parte 02

Raciocínio Lógico - Parte 03

Raciocínio Lógico - Parte 04

Jorge Forbes - Filosofia e Psicanálise,Meta e Responsabilidade

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